Родился в пос. Рассказово (ныне город в Тамбовской области) в семье рабочего. С 1931 г. жил в Свердловске, работал на строительстве Уралмаша, затем столяром на заводе, инструктором мотоотдела спортивного общества «Спартак». В 1937 г. окончил Оренбургскую военную школу летчиков и летчиков-наблюдателей.
В Красной армии в 1934–1938 гг. и с 1940 г. Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 г. Командир звена 41-го истребительного авиационного полка Липилин к октябрю 1941 г. совершил 112 боевых вылетов, в воздушных боях сбил 9 вражеских самолетов, сжег на земле более 30 автомашин с боеприпасами, разрушил 4 переправы.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 февраля 1942 г. за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему лейтенанту Липилину А. А. присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 677).
В конце 1942 г. прибыл в пос. Сеймчан – место базирования 3-го перегоночного полка авиаперегоночной дивизии, на должность командира эскадрильи. После войны продолжал службу в армии. С 1961 г. полковник Липилин – в запасе. Жил в Москве. До 1984 г. работал инженером-конструктором на машиностроительном заводе. Награжден двумя орденами Ленина, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.